Calcule a integral dupla integral duplaR(sin x+sin y) d A onde R=[0, pi] times[0, pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de sin x + sin y sobre o retângulo R=[0,pi]times[0,pi]. O conteúdo é integração em várias variáveis, usando o teorema de Fubini (transformar em integral iterada), a propriedade de linearidade da integral e as antiderivadas de sin x e sin y.

Passo 2

Usando linearidade, escrevemos
integral duplaR(sin x + sin y),dA = integral duplaRsin x,dA + integral duplaRsin y,dA
Em seguida aplicamos o teorema de Fubini para cada parcela.

Passo 3

Para integral duplaRsin x,dA, fixamos y e integramos em x:
integral duplaRsin x,dA = integraly=0^pil(integralx=0^pisin x,dxr)dy
A antiderivada de sin x é -cos x, logo
integral0^pisin x,dx = [-cos x]0^pi = -cos(pi) + cos(0) = 2
Substituindo,
integral duplaRsin x,dA = integral0^pi2,dy = 2pi

Passo 4

De modo análogo, para integral duplaRsin y,dA trocamos as ordens de integração:
integral duplaRsin y,dA = integralx=0^pil(integraly=0^pisin y,dyr)dx = integral0^pi2,dx = 2pi

Passo 5

Somando as duas contribuições por linearidade, o resultado final é
2pi + 2pi = 4pi

Resposta

4pi

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