Calcule a integral dupla
integral duplaR 1(4-x^2-y^2)^2 d A
onde R é o setor do primeiro quadrante limitado por y=x e (y-1)^2+x^2=1.

Passo 1

A questão pede para calcular integral duplaR 1(4 - x^2 - y^2)^2,dA, onde R é o setor do 1º quadrante limitado pela reta y=x e pela circunferência (y-1)^2 + x^2 = 1. Isto está em matérias de integrais duplas em coordenadas polares, e vamos usar a troca para polares.

Passo 2

Primeiro, interpretamos a circunferência em polares. Como x = rcostheta e y = rsintheta, temos
(rsintheta - 1)^2 + (rcostheta)^2 = 1 implies r^2 - 2rsintheta + 1 = 1 implies r = 2sintheta

Passo 3

O setor do primeiro quadrante limitado pela reta y=x (que é theta = pi/4) e pelo eixo x ( theta=0) e pela circunferência corresponde a
0 <= theta <= pi4, 0 <= r <= 2sintheta

Passo 4

Em coordenadas polares, dA = r,dr,dtheta e x^2 + y^2 = r^2, então a integral vira
integraltheta=0^pi/4 integralr=0^2sintheta r(4 - r^2)^2 ,dr,dtheta

Passo 5

Para a integral interna, use a substituição u = 4 - r^2, logo du = -2r,dr e r,dr = -tfrac12,du. Quando r=0, u=4; quando r=2sintheta, u = 4cos^2theta. Assim:
integral0^2sintheta r(4 - r^2)^2 ,dr = integralu=4^4cos^2theta -1/2u^2 ,du = 12integral4cos^2theta^4 u^-2 ,du = 18l(sec^2theta -1r) = tan^2theta8

Passo 6

Agora integramos em theta:
integral0^pi/4 tan^2theta8 ,dtheta = 18integral0^pi/4 (sec^2theta -1),dtheta = 18 l[ tantheta - theta r]0^pi/4 = 18l(1 - pi4r)

Resposta

4 - pi32

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