Calcule a integral dupla
onde
é o setor do primeiro quadrante limitado por
e
.
Passo 1
A questão pede para calcular
, onde
é o setor do 1º quadrante limitado pela reta
e pela circunferência
. Isto está em matérias de integrais duplas em coordenadas polares, e vamos usar a troca para polares.
Passo 2
Primeiro, interpretamos a circunferência em polares. Como
e
, temos
Passo 3
O setor do primeiro quadrante limitado pela reta
(que é
) e pelo eixo
(
) e pela circunferência corresponde a
Passo 4
Em coordenadas polares,
e
, então a integral vira
Passo 5
Para a integral interna, use a substituição
, logo
e
. Quando
,
; quando
,
. Assim:
Passo 6
Agora integramos em
: