Inverta a ordem de integração e calcule a integral
integral1^3 integral0^ln (x) x d y d x

Passo 1

A gente tem a integral dupla integral1^3integral0^ln(x)x,dy,dx. O conteúdo é inversão de ordem de integração em integrais duplas e vamos precisar descrever a região no plano (x,y) e depois aplicar Fubini.

Passo 2

A região D vem de 1 <= x <= 3 e 0 <= y <= ln(x). Se quisermos trocar a ordem, vemos que y varia de 0 até o valor máximo de ln(x), que é ln(3). Para cada y fixo, x deve satisfazer y <= ln(x), isto é, x >= e^y, e ainda x <= 3. Reescrevendo a integral invertida, ficamos com
integraly=0^ln 3integralx=e^y^3 x,dx,dy

Passo 3

Vamos calcular a integral interna:
integrale^y^3 x,dx = l[x^22r]x=e^y^x=3 = 92 - e^2y2

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^ln 3l(92 - e^2y2r)dy = 92y - 12cdote^2y2gr|0^ln 3 = 92ln 3 - 14(e^2ln 3 - 1) = 92ln 3 - 14(9 - 1) = 92ln 3 - 2

Resposta

92ln 3 - 2

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