Dados os pontos
,
e
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(1.3) Quais desses pontos coincidem com o ponto
.
(1.3) Quais desses pontos coincidem com o ponto
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde vários pontos estão definidos em coordenadas polares. Cada ponto é dado na forma $ P(r, \theta) $, onde $ r $ é a distância do ponto até a origem e $ \theta $ é o ângulo em graus ou radianos. A pergunta é: Quais desses pontos coincidem com o ponto $ P(3,2310^\circ) $? Para resolver isso, precisamos entender como comparar pontos em coordenadas polares, considerando que ângulos podem se repetir a cada 360° ou $ 2\pi $ radianos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que dois pontos em coordenadas polares coincidem se eles tiverem a mesma distância $ r $ e seus ângulos $ \theta $ forem equivalentes, ou seja, diferirem de múltiplos completos de 360°. Também, se $ r $ for negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta, então podemos ajustar o ângulo adicionando ou subtraindo 180° para tornar $ r $ positivo.
Passo 3
Vamos analisar o ponto de referência $ P(3,2310^\circ) $. Nosso objetivo é encontrar outros pontos com $ r = 3 $ e um ângulo equivalente a $ 2310^\circ $.
Passo 4
Primeiro, vamos simplificar o ângulo $ 2310^\circ $. Como os ângulos se repetem a cada 360°, podemos subtrair múltiplos de 360° para encontrar o ângulo correspondente dentro de 0° a 360°:
Então, $ P(3,2310^\circ) $ é equivalente a $ P(3,150^\circ) $.
Passo 5
Agora, vamos verificar cada ponto dado:
-
$ P_1(3, \frac{5\pi}{3}) $:
Converter $ \frac{5\pi}{3} $ para graus:Então, $ P_1(3,300^\circ) $. Não é igual a $ 150^\circ $. -
$ P_2(-3,330^\circ) $:
Aqui, $ r = -3 $, então ajustamos o ângulo adicionando 180°:Agora, simplificando:Então, $ P_2(3,150^\circ) $. Este coincide com $ P(3,150^\circ) $. -
$ P_3(-1,-\frac{\pi}{3}) $:
Primeiro, converter $ -\frac{\pi}{3} $ para graus:Ajustando para $ r = 1 $ positivo:Então, $ P_3(1,120^\circ) $. Não é igual a $ 150^\circ $. -
$ P_4(\sqrt{2},-315^\circ) $:
Ajustando o ângulo para o intervalo 0° a 360°:Então, $ P_4(\sqrt{2},45^\circ) $. Não é igual a $ 150^\circ $. -
$ P_5(0,53^\circ) $:
Quando $ r = 0 $, o ângulo não importa. Este ponto está na origem. $ P(3,150^\circ) $ não está na origem. Não coincide. -
$ P_6(0,e^{\pi}) $:
Novamente, $ r = 0 $ significa que está na origem, independente do ângulo. Não coincide com $ P(3,150^\circ) $. -
$ P_7(1,3) $:
Aqui, $ \theta = 3 $. Se for em graus, é 3°, que não coincide com 150°. Se for em radianos, $ 3 $ radianos ≈ 171.89°, também não coincide.
Resposta
Apenas o ponto $ P_{2}(-3,330^\circ) $ coincide com o ponto $ P(3,2310^\circ) $.