Calcule a integral dupla
integral duplaR sen(x+y) d A,
onde R é a região limitada pelas retas
y=x, x+y=pi2 e y=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR sin(x+y),dA na região triangular limitada por y=0, y=x e x+y=tfracpi2. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas e integração por partes para uma integral simples que vai surgir.

Passo 2

Fazendo a mudança de variáveis u = x+y e v = y. Então x = u - v, y = v e o jacobiano é
|detpartial(x,y)partial(u,v)| = 1

Passo 3

A fronteira em (u,v) vem de: y=0 é v=0; y=x v = u-v ou u=2v; x+y=tfracpi2 é u=tfracpi2. Logo
0 <= u <= pi2, 0 <= v <= u2

Passo 4

A integral original vira
integral duplaR sin(x+y),dA = integralu=0^pi/2!integralv=0^u/2 sin(u),dv,du

Passo 5

Integrando primeiro em v:
integralu=0^pi/2 sin(u)l[vr]0^u/2,du = integral0^pi/2 u2sin(u),du = 12integral0^pi/2 usin(u),du

Passo 6

Para integral0^pi/2 usin(u),du usamos integração por partes com a=u, db=sin(u)du. Assim
integral usin(u),du = -ucos(u) + sin(u) + C

Passo 7

Avaliado de 0 a pi/2
l[-ucos(u)+sin(u)r]0^pi/2 = (0+1) - (0+0) = 1

Resposta

tfrac12

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