Encontre a integral dupla
integral duplaR y d A
onde R é a região limitada pela reta y=2 x e pela parábola y=3-x^2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla integral duplaR y,dA sobre a região limitada pela reta y=2x e pela parábola y=3 - x^2. O conteúdo utilizado é integração dupla em coordenadas cartesianas: precisamos achar a interseção das curvas, esboçar a região e estabelecer limites de integração.

Passo 2

Para encontrar onde as curvas se cruzam, igualamos 2x = 3 - x^2. Resolvendo
x^2 + 2x - 3 = 0
temos raízes
x = 1 e x = -3
Esses são os valores de x em que y coincide.

Passo 3

Esboçando a região: para x de -3 a 1, a reta y=2x fica abaixo da parábola y=3 - x^2. Assim podemos montar a integral iterada.
A integral fica
integralx=-3^1 l(integraly=2x^3 - x^2 y,dyr) dx

Passo 4

Calculamos primeiro a parte interna:
integraly=2x^3 - x^2 y,dy = y^22|2x^3 - x^2 = (3 - x^2)^2 - (2x)^22

Passo 5

Expandindo e simplificando o numerador:
(3 - x^2)^2 - 4x^2 = 9 - 6x^2 + x^4 - 4x^2 = x^4 - 10x^2 + 9
Logo a integral torna-se
integral-3^1 x^4 - 10x^2 + 92,dx = 12 integral-3^1 (x^4 - 10x^2 + 9),dx

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integral x^4 dx = x^55, integral x^2 dx = x^33, integral 1,dx = x
Aplicando os limites de -3 a 1:
integral-3^1(x^4 - 10x^2 + 9)dx = [x^55 - 10x^33 + 9x]-3^1 = -12815

Passo 7

Multiplicando por tfrac12 vem
integral duplaR y,dA = 12 cdot l(-12815r) = -6415

Resposta

-tfrac6415

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