Faça o esboço do gráfico da função e diga se a função é apenas injetiva, apenas sobrejetiva ou bijetiva.
f: R R, f(x)=-3^x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de f: ℝ→ℝ dada por f(x) = -3^x e que a gente determine se ela é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Vamos usar conceitos de função exponencial e definições de injeção e sobrejeção.

Passo 2

Primeiro lembramos as propriedades básicas da exponencial g(x)=3^x: ela tem domínio , imagem (0,∞) e é estritamente crescente, com assíntota horizontal em y=0.
Em seguida aplicamos a transformação de sinal: f(x)=-3^x é o gráfico de g(x) espelhado em relação ao eixo x. Assim, o domínio continua , a imagem passa a ser (−∞,0) e permanece contínua, mas agora estritamente decrescente. No esboço, para x→-∞ temos f(x)→0^-, e para x→∞ temos f(x)→-∞. O ponto (0,-1) fica acima do gráfico como referência.

Passo 3

Como f é estritamente decrescente (não há dois x diferentes com a mesma imagem), ela é injetiva. Aqui usamos a definição de injeção: x1 neq x2 implies f(x1) neq f(x2).

Passo 4

Para ser sobrejetiva em , teríamos de atingir todo o conjunto como imagem, mas vimos que a imagem é só (−∞,0). Logo, não atinge valores ≥0 e não é sobrejetiva.

Passo 5

Concluímos que f é injetiva, mas não sobrejetiva, portanto não é bijetiva.

Resposta

Apenas injetiva

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