Faça o esboço do gráfico da função e diga se a função é apenas injetiva, apenas sobrejetiva ou bijetiva.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de f: ℝ→ℝ dada por
e que a gente determine se ela é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Vamos usar conceitos de função exponencial e definições de injeção e sobrejeção.
Passo 2
Primeiro lembramos as propriedades básicas da exponencial
: ela tem domínio
, imagem
e é estritamente crescente, com assíntota horizontal em
.
Em seguida aplicamos a transformação de sinal: é o gráfico de
espelhado em relação ao eixo
. Assim, o domínio continua
, a imagem passa a ser
e permanece contínua, mas agora estritamente decrescente. No esboço, para
temos
, e para
temos
. O ponto
fica acima do gráfico como referência.
Em seguida aplicamos a transformação de sinal:
Passo 3
Como
é estritamente decrescente (não há dois
diferentes com a mesma imagem), ela é injetiva. Aqui usamos a definição de injeção:
.
Passo 4
Para ser sobrejetiva em
, teríamos de atingir todo o conjunto
como imagem, mas vimos que a imagem é só
. Logo, não atinge valores
e não é sobrejetiva.
Passo 5
Concluímos que f é injetiva, mas não sobrejetiva, portanto não é bijetiva.
Resposta
Apenas injetiva