Calcule a integral dupla
integral duplaR sin (x^2+y^2) d A
onde R é o setor do primeiro quadrante limitado por x=0, y=x e x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de sin(x^2 + y^2) sobre uma região específica no primeiro quadrante. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo integral, especificamente integrais duplas e conversão para coordenadas polares, que é uma técnica útil quando a região de integração tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R onde vamos integrar. Ela está no primeiro quadrante e é limitada por:
  • A reta x = 0, que é o eixo y.
  • A reta y = x, que é uma linha inclinada de 45 graus.
  • O círculo x^2 + y^2 = 4, que tem raio 2.
Como a equação envolve x^2 + y^2, que é o raio ao quadrado em coordenadas polares, faz sentido mudar para coordenadas polares para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos converter tudo para coordenadas polares, onde:
  • x = r cos(theta)
  • y = r sin(theta)
  • O elemento de área dA = r , dr , dtheta
A equação do círculo x^2 + y^2 = 4 fica r = 2.
Para os limites de theta, observamos que y = x corresponde a theta = pi4 (45 graus) no primeiro quadrante.
Então, r varia de 0 a 2, e theta varia de 0 a pi4.

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
integral duplaR sin(x^2 + y^2) , dA = integral0^pi4 integral0^2 sin(r^2) cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral interna em relação a r. Fazemos uma substituição para facilitar:
Seja u = r^2, então du = 2r , dr, ou seja, r , dr = du2.
Então, a integral interna fica:
integral0^2 sin(r^2) cdot r , dr = 12 integral0^4 sin(u) , du = 12 [ -cos(u) ]0^4 = 12 ( -cos(4) + cos(0) ) = 12 (1 - cos(4))
Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi4 12 (1 - cos(4)) , dtheta = 12 (1 - cos(4)) cdot pi4 = pi8 (1 - cos(4))

Resposta

A integral dupla vale dfracpi8 (1 - cos(4)).

Exercícios relacionados