Calcule a integral dupla
onde
é o setor do primeiro quadrante limitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de
sobre uma região específica no primeiro quadrante. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo integral, especificamente integrais duplas e conversão para coordenadas polares, que é uma técnica útil quando a região de integração tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. Ela está no primeiro quadrante e é limitada por:
- A reta
, que é o eixo y. - A reta
, que é uma linha inclinada de 45 graus. - O círculo
, que tem raio 2.
Como a equação envolve
, que é o raio ao quadrado em coordenadas polares, faz sentido mudar para coordenadas polares para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos converter tudo para coordenadas polares, onde:
-
-
- O elemento de área
A equação do círculo
fica
.
Para os limites de
, observamos que
corresponde a
(45 graus) no primeiro quadrante.
Então,
varia de 0 a 2, e
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Fazemos uma substituição para facilitar:
Seja
, então
, ou seja,
.
Então, a integral interna fica:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral dupla vale
.