O triângulo A B C tem área 100. O ponto M do lado A B é tal que M AM B=32 e o ponto N do lado A C é tal que N AN C=13. Calcule a área do quadrilátero M B C N.

Passo 1

A questão trata de um triângulo ABC de área 100 e pedem a área do quadrilátero MBCN, onde M está em AB satisfazendo MAMB=tfrac32 e N está em AC satisfazendo NANC=tfrac13. Para resolver, vamos usar a relação de áreas de triângulos que compartilham o mesmo ângulo em A.

Passo 2

Como MAMB=tfrac32, o ponto M divide AB em proporção MA:AB=3:(3+2)=3/5. De forma análoga, de NANC=tfrac13 vem NA:AC=1:(1+3)=1/4.

Passo 3

Usando que, para triângulos com o mesmo ângulo em A, vale
área(AMN)área(ABC)=AMcdot ANABcdot AC, áá
temos
área(AMN)=100times35times14=15 á

Passo 4

O segmento MN separa ABC em dois polígonos: o triângulo AMN e o quadrilátero MBCN. Logo,
área(MBCN)=área(ABC)-área(AMN)=100-15=85 ááá

Resposta

85

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