No triângulo A B C, A B=2, A C=3 e B=2 C. Calcule o lado B C e a área do triângulo A B C.

Passo 1

O problema pede para encontrar o lado BC e a área do triângulo ABC, sabendo que AB = 2, AC = 3 e que o ângulo em B vale o dobro do ângulo em C. Vamos usar a Lei dos Senos para lidar com a relação entre lados e ângulos e depois a fórmula da área em função de dois lados e o ângulo entre eles.

Passo 2

Rotulamos os lados e ângulos assim: lado a = BC (oposto a A), b = AC = 3 (oposto a B), c = AB = 2 (oposto a C). Definimos o ângulo C = x, então B = 2x e A = π – 3x.

Passo 3

Aplicando a Lei dos Senos entre b e c, temos:
bsin B = csin C implies 3sin(2x) = 2sin x
Como sin(2x)=2sin xcos x, segue:
32sin xcos x = 2sin x implies 3 = 4cos x implies cos x = 34

Passo 4

Com cos x = 3/4, calculamos sin x = raiz1-cos^2 x = raiz74
Para achar o lado a usamos a constante da Lei dos Senos k = csin x = 2sin x = 8raiz7
Então
a = ksin A = 8raiz7sin(π-3x) = 8raiz7sin(3x)

Passo 5

Usamos a fórmula do ângulo triplo para sin(3x):
sin(3x) = 3sin x - 4sin^3 x = 3raiz74 - 4l(raiz74r)^3 = 5raiz716
Logo
a = 8raiz7 cdot 5raiz716 = 52
Portanto BC = a = tfrac52.

Passo 6

Para a área, usamos a fórmula
Área = tfrac12,ABcdot ACcdotsin A = tfrac12cdot2cdot3cdotsin(π-3x) = 3sin(3x)Á
Como já temos sin(3x)=5raiz7/16, obtemos
Área = 3cdot5raiz716 = 15raiz716Á

Passo 7

Concluímos que BC = 5/2 e a área do triângulo é 15√7/16.

Resposta

BC = 5/2 e Área = \tfrac{15\sqrt7}{16}

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