No triângulo
e
. Calcule o lado
e a área do triângulo
.
Passo 1
O problema pede para encontrar o lado BC e a área do triângulo ABC, sabendo que AB = 2, AC = 3 e que o ângulo em B vale o dobro do ângulo em C. Vamos usar a Lei dos Senos para lidar com a relação entre lados e ângulos e depois a fórmula da área em função de dois lados e o ângulo entre eles.
Passo 2
Rotulamos os lados e ângulos assim: lado a = BC (oposto a A), b = AC = 3 (oposto a B), c = AB = 2 (oposto a C). Definimos o ângulo C = x, então B = 2x e A = π – 3x.
Passo 3
Aplicando a Lei dos Senos entre b e c, temos:
Como
Passo 4
Com
, calculamos
Para achar o lado a usamos a constante da Lei dos Senos
Então
Para achar o lado a usamos a constante da Lei dos Senos
Então
Passo 5
Usamos a fórmula do ângulo triplo para
:
Logo
Portanto BC =
.
Passo 6
Para a área, usamos a fórmula
Como já temos
Passo 7
Concluímos que BC = 5/2 e a área do triângulo é 15√7/16.
Resposta
BC = 5/2 e Área = \tfrac{15\sqrt7}{16}