Calcule integral duplaR(2 y+x) d A, onde R=(x, y): 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral dupla de f(x,y)=2y+x sobre o retângulo R definido por 0≤x≤2 e 0≤y≤1. O conteúdo aqui é integrais duplas iteradas e vamos usar a propriedade de que, em regiões retangulares, podemos separar em duas integrais simples.

Passo 2

Como R é retângulo, escrevemos a integral dupla como integral iterada na ordem dy dx:
integral duplaR(2y+x),dA = integralx=0^2 integraly=0^1 (2y + x),dy,dx

Passo 3

Primeiro fazemos a integral interna em y. Para cada x fixo,
integral0^1 (2y + x),dy = [ y^2 + x y ]0^1 = 1 + x

Passo 4

Agora integramos em x o resultado 1+x de 0 a 2:
integral0^2 (1 + x),dx = [ x + x^22 ]0^2 = 2 + 2 = 4

Resposta

4

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