Calcule a integral dupla
onde
é a região limitada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é a região limitada pelas curvas
,
e
. Basicamente, vamos somar todos os valores de
sobre essa região
. Para isso, vamos precisar entender bem as curvas que formam essa região e definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Temos três curvas que delimitam
:
-
: Essa é uma curva cúbica que passa pela origem e sobe para a direita e desce para a esquerda. -
: Essa é uma reta que intercepta os eixos em e . -
: Essa é o eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites da nossa região.
Passo 3
Vamos encontrar onde
e
se encontram. Substituindo
da primeira equação na segunda:
Testando valores, vemos que
é uma solução, porque
. Então, o ponto de interseção é
.
Além disso, a reta
intercepta o eixo
em
quando
.
Portanto, a região
vai do
até
, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral dupla. Como
varia de 0 a 1 e
de
a
, podemos escrever:
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando os valores:
Resposta
A integral dupla
vale
.