Calcule a integral dupla
integral duplaR x d A
onde R é a região limitada por
y=x^3, x+y=2 e x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR x , dA, onde R é a região limitada pelas curvas y = x^3, x + y = 2 e x = 0. Basicamente, vamos somar todos os valores de x sobre essa região R. Para isso, vamos precisar entender bem as curvas que formam essa região e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região R. Temos três curvas que delimitam R:
  1. y = x^3: Essa é uma curva cúbica que passa pela origem e sobe para a direita e desce para a esquerda.
  2. x + y = 2: Essa é uma reta que intercepta os eixos em x=2 e y=2.
  3. x = 0: Essa é o eixo y.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites da nossa região.

Passo 3

Vamos encontrar onde y = x^3 e x + y = 2 se encontram. Substituindo y da primeira equação na segunda:
x + x^3 = 2 implies x^3 + x - 2 = 0
Testando valores, vemos que x = 1 é uma solução, porque 1 + 1 - 2 = 0. Então, o ponto de interseção é (1, 1).
Além disso, a reta x + y = 2 intercepta o eixo y em y = 2 quando x = 0.
Portanto, a região R vai do x = 0 até x = 1, e para cada x, y varia de y = x^3 até y = 2 - x.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral dupla. Como x varia de 0 a 1 e y de x^3 a 2 - x, podemos escrever:
integral duplaR x , dA = integralx=0^1 integraly=x^3^2 - x x , dy , dx
Vamos integrar primeiro em relação a y:
integraly=x^3^2 - x x , dy = x [ y ]x^3^2 - x = x ( (2 - x) - x^3 ) = x (2 - x - x^3) = 2x - x^2 - x^4
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 (2x - x^2 - x^4) , dx = [ x^2 - x^33 - x^55 ]0^1 = (1 - 13 - 15) - 0 = 1 - 13 - 15
Calculando os valores:
1 - 13 - 15 = 1515 - 515 - 315 = 715

Resposta

A integral dupla integral duplaR x , dA vale 715.

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