Calcule a integral dupla
onde
é a região limitada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ x + y $ sobre a região $ R $ delimitada por $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ x + y = 2 $. Isso está relacionado ao estudo de integrais duplas em cálculo multivariado, onde precisamos entender como somar os valores de uma função em uma área específica. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como configurar a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região $ R $. Ela é limitada pelas linhas $ x = 0 $ (eixo y), $ y = 0 $ (eixo x) e $ x + y = 2 $. Isso forma um triângulo no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2).
Passo 3
Agora, precisamos configurar a integral dupla. Podemos integrar em relação a $ x $ primeiro ou em relação a $ y $. Vou optar por integrar em relação a $ y $ primeiro. Para isso, para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 até $ 2 - x $.
Passo 4
Então, os limites de integração são:
- $ x $ varia de 0 a 2.
- Para cada $ x $, $ y $ varia de 0 a $ 2 - x $.
A integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Isso se divide em duas integrais:
A primeira integral é $ x $ vezes o intervalo de $ y $:
A segunda integral é:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 6
Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, somando:
Passo 7
Agora, integramos $ 2 - \frac{x^2}{2} $ em relação a $ x $ de 0 a 2:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{8}{3} $.