Calcule a integral dupla
integral duplaR(x-y) d A
onde R é a região limitada por
x=0, x=1, y=x e y=2-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A questão pede para calcular a integral dupla de $ (x - y) $ sobre a região $ R $, que é limitada por $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ y = x $ e $ y = 2 - x^2 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para a região $ R $ e aplicar o conceito de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região $ R $. Ela é delimitada por $ x = 0 $ e $ x = 1 $, que são linhas verticais, e por $ y = x $ e $ y = 2 - x^2 $, que são curvas. Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de $ y $ para cada $ x $ entre 0 e 1.

Passo 3

Vamos identificar quais curvas estão superiores e inferiores dentro do intervalo de $ x $ de 0 a 1. Calculando os valores de $ y $:
  • Quando $ x = 0 $:
    • $ y = 0 $
    • $ y = 2 $
  • Quando $ x = 1 $:
    • $ y = 1 $
    • $ y = 1 $
Observamos que para $ 0 \leq x \leq 1 $, a curva $ y = 2 - x^2 $ está acima de $ y = x $.

Passo 4

Agora que sabemos que $ y $ varia de $ y = x $ a $ y = 2 - x^2 $ para cada $ x $ entre 0 e 1, podemos escrever a integral dupla como:
y

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
y
Integrando $ (x - y) $ em relação a $ y $, temos:
integraly=x^2 - x^2 (x - y) , dy

Passo 6

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de $ y = x $ e $ y = 2 - x^2 $:
y = x
Simplificando cada parte:
Primeiro termo:
y = 2 - x^2
Segundo termo:
[ x (2 - x^2) - (2 - x^2)^22 ] - [ x (x) - x^22 ]

Passo 7

Subtraindo o segundo termo do primeiro termo:
(2x - x^3 - 2 + 2x^2 - x^42) - x^22 = 2x - x^3 - 2 + 3x^22 - x^42

Passo 8

Agora, temos a integral externa:
integral0^1 ( 2x - x^3 - 2 + 3x^22 - x^42 ) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral 2x , dx = x^2
integral -x^3 , dx = -x^44
integral -2 , dx = -2x
integral 3x^22 , dx = x^32
integral -x^42 , dx = -x^510

Passo 9

Somando todas as antiderivadas:
x^2 - x^44 - 2x + x^32 - x^510
Agora, avaliamos essa expressão de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
Para $ x = 1 $:
x = 0
Para $ x = 0 $:
x = 1

Resposta

A integral dupla vale -0,85.

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