Calcule a integral dupla
onde
é a região limitada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A questão pede para calcular a integral dupla de $ (x - y) $ sobre a região $ R $, que é limitada por $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ y = x $ e $ y = 2 - x^2 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para a região $ R $ e aplicar o conceito de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região $ R $. Ela é delimitada por $ x = 0 $ e $ x = 1 $, que são linhas verticais, e por $ y = x $ e $ y = 2 - x^2 $, que são curvas. Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de $ y $ para cada $ x $ entre 0 e 1.
Passo 3
Vamos identificar quais curvas estão superiores e inferiores dentro do intervalo de $ x $ de 0 a 1. Calculando os valores de $ y $:
-
Quando $ x = 0 $:
- $ y = 0 $
- $ y = 2 $
-
Quando $ x = 1 $:
- $ y = 1 $
- $ y = 1 $
Observamos que para $ 0 \leq x \leq 1 $, a curva $ y = 2 - x^2 $ está acima de $ y = x $.
Passo 4
Agora que sabemos que $ y $ varia de $ y = x $ a $ y = 2 - x^2 $ para cada $ x $ entre 0 e 1, podemos escrever a integral dupla como:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Integrando $ (x - y) $ em relação a $ y $, temos:
Passo 6
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de $ y = x $ e $ y = 2 - x^2 $:
Simplificando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 7
Subtraindo o segundo termo do primeiro termo:
Passo 8
Agora, temos a integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Somando todas as antiderivadas:
Agora, avaliamos essa expressão de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Resposta
A integral dupla vale -0,85.