Calcule a integral dupla
integral duplaR e^x d A
onde R é a região triangular com vértices O(0,0), B(0,1) e C(1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR e^x ,dA, onde R é o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,1). O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas e vamos precisar expressar R como um domínio do tipo simples em x ou y.

Passo 2

Primeiro, identificamos as fronteiras do triângulo. As projeções nos eixos mostram que y varia de 0 até 1, e para cada y fixo, x varia de 0 até y. Isso vem da reta que liga (0,0) a (1,1), que é x=y.

Passo 3

Montamos a integral iterada escolhendo a ordem dx,dy:
integral duplaR e^x ,dA = integraly=0^1 gl( integralx=0^y e^x ,dx gr) dy
Calculamos a integral interna em x:
integralx=0^y e^x ,dx = e^x lvert0^y = e^y - 1
Substituímos no integral em y e calculamos:
integral0^1 (e^y - 1) ,dy = integral0^1 e^y ,dy - integral0^1 1 ,dy = (e^y)lvert0^1 - (y)lvert0^1 = (e - 1) - 1 = e - 2

Resposta

e - 2

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