Calcule a integral dupla
integral duplaR x sen(y) d A
onde R é a região limitada pelas curvas
y=0, y=x^2 e x=1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla de xsin y sobre a região R limitada por y=0, y=x^2 e x=1. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas e vamos precisar escolher ordem de integração adequada e usar substituição para resolver a integral externa.

Passo 2

Como a região R é dada por 0<= y<= x^2 e 0<= x<= 1, podemos escrever
integral duplaR xsin y,dA = integralx=0^1 integraly=0^x^2 xsin y,dy,dx
Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=0^x^2 xsin y,dy= xl[-cos yr]0^x^2= xl(1-cos(x^2)r)
Agora a integral externa em x:
integral0^1 xl(1-cos(x^2)r),dx= integral0^1 x,dx - integral0^1 xcos(x^2),dx

Passo 3

A primeira parte é integral0^1 x,dx=1/2. Para a segunda usamos a substituição t=x^2, dt=2x,dx:
integral0^1 xcos(x^2),dx= 12integralt=0^1 cos t,dt= 12l[sin tr]0^1= sin12
Portanto o valor da integral é
12 - sin12 = 1-sin12

Resposta

1 - sin 12

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