Seja a função: f(x)=3 x^2+2 x^3 / 2
Determine as três primeiras derivadads de f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar as três primeiras derivadas da função $ f(x) = 3x^{2} + 2x^{3/2} $. Isso envolve cálculo de derivadas, que é uma parte da matemática chamada cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos aplicar as regras de derivação, que basicamente nos ajudam a encontrar como a função muda quando escolhemos diferentes poderes de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $, que é chamada de $ f’(x) $. Para derivar cada termo, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Aplicando isso:
f(x)
f'(x)
x^n

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente para achar a segunda derivada, $ f’’(x) $. A gente aplica a mesma regra do poder:
f''(x)
f''(x) = ddx(6x) + ddx(3x^1/2)
= 6 + 3 cdot 12x^12-1

Passo 4

Por último, vamos encontrar a terceira derivada, $ f’’’(x) $. Mais uma vez, usamos a regra do poder:
f'''(x)
f'''(x) = ddx(6) + ddx(32x^-1/2)
= 0 + 32 cdot (-12)x^-1/2 -1

Resposta

As três primeiras derivadas de $ f(x) $ são:
f(x)
f'(x) = 6x + 3x^1/2
f''(x) = 6 + 32x^-1/2

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