Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar aplicar técnicas de integração, como a integração por partes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração $ R $. Ela é definida por $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 2 $. Isso significa que $ x $ varia de 0 a 1 e, para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 a 2.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a $ y $ primeiro. A integral fica:
Aqui, tratamos $ x $ como uma constante ao integrar em relação a $ y $.
Passo 4
Para integrar $ x^{2} y e^{x y} $ em relação a $ y $, usamos a técnica de integração por partes. Vamos definir:
$ u = y $ $ du = dy $
$ dv = e^{x y} , dy $ $ v = \frac{e^{x y}}{x} $
A fórmula de integração por partes é:
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão de $ y = 0 $ a $ y = 2 $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, nossa integral dupla se reduz a uma integral simples em relação a $ x $:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 8
Primeiro, integremos $ 2x e^{2x} $. Usamos integração por partes novamente:
$ u = x $ $ du = dx $
$ dv = e^{2x} , dx $ $ v = \frac{e^{2x}}{2} $
Então:
Passo 9
Integramos o segundo termo $ -e^{2x} $:
Passo 10
E por fim, a integral de $ 1 $ em relação a $ x $:
Passo 11
Juntando tudo, a integral completa fica:
Passo 12
Avaliaremos essa expressão de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
Simplificando:
Mas na verdade, houve um pequeno erro de cálculo. Vamos refazer a avaliação correta: