Calcule a integral dupla.
integral duplaR x^2 y e^x y d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui:
integral duplaR x^2 y e^x y , dA, R = (x, y) mid 0 <= x <= 1, , 0 <= y <= 2
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar aplicar técnicas de integração, como a integração por partes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração $ R $. Ela é definida por $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 2 $. Isso significa que $ x $ varia de 0 a 1 e, para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 a 2.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a $ y $ primeiro. A integral fica:
y
Aqui, tratamos $ x $ como uma constante ao integrar em relação a $ y $.

Passo 4

Para integrar $ x^{2} y e^{x y} $ em relação a $ y $, usamos a técnica de integração por partes. Vamos definir:
  • $ u = y $ x^2 y e^x y $ du = dy $
  • $ dv = e^{x y} , dy $ y $ v = \frac{e^{x y}}{x} $
A fórmula de integração por partes é:
u = y

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
integral x^2 y e^x y , dy = x^2 ( y cdot e^x yx - integral e^x yx , dy )
Simplificando:
= x^2 ( y e^x yx - e^x yx^2 )
= x cdot y e^x y - e^x y

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão de $ y = 0 $ a $ y = 2 $:
y = 0
Simplificando:
y = 2

Passo 7

Agora, nossa integral dupla se reduz a uma integral simples em relação a $ x $:
x
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 8

Primeiro, integremos $ 2x e^{2x} $. Usamos integração por partes novamente:
  • $ u = x $ 2x e^2x $ du = dx $
  • $ dv = e^{2x} , dx $ u = x $ v = \frac{e^{2x}}{2} $
Então:
Rightarrow
du = dx

Passo 9

Integramos o segundo termo $ -e^{2x} $:
-e^2x

Passo 10

E por fim, a integral de $ 1 $ em relação a $ x $:
1

Passo 11

Juntando tudo, a integral completa fica:
x e^2x - e^2x2 - e^2x2 + x = x e^2x - e^2x + x

Passo 12

Avaliaremos essa expressão de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
x = 0
Simplificando:
x = 1
(1 cdot e^2 - e^2 + 1) - (0 cdot e^0 - e^0 + 0)
Mas na verdade, houve um pequeno erro de cálculo. Vamos refazer a avaliação correta:
A expressão correta é:
= e^2 - e^2 + 1 - ( -1 )
Logo, o resultado final é:
= 1 + 1 = 2

Resposta

A integral dupla vale 7 - e^24.

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