Calcule a integral fazendo uma mudança de variáveis para coorenadas polares.
integral duplaD e^x^2+y^2 d A onde D=(x, y) mid x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaD e^x^2+y^2,dA onde D é o disco unidade via mudança para coordenadas polares. O conteúdo é integração dupla e troca de coordenadas; vamos precisar da relação x=rcostheta, y=rsintheta e do jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x^2+y^2=r^2 e o elemento de área é dA=r,dr,dtheta. O domínio D vira 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi. Assim, o integral vira
integral0^2piintegral0^1 e^r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Para calcular a parte em r, fazemos a substituição u=r^2, du=2r,dr, logo
integral0^1 e^r^2r,dr = 12integral0^1 e^u,du = e-12 A integral em theta
integral0^2pi e-12,dtheta = e-12cdot2pi = pi(e-1)

Resposta

pi(e-1)

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