Calcule a integral dupla.
integral duplaR y(1+x^2+y^2)^3 / 2 d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral dupla integral duplaR y(1+x^2+y^2)^3/2,dA na região R=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1. O conteúdo envolvido é o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada, substituição em integrais simples e a fórmula da antiderivada de 1/raiza+x^2.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, reescrevemos como integral iterada em y depois em x:
integral0^1integral0^1 y(1+x^2+y^2)^3/2,dy,dx
Escolhemos integrar primeiro em y, pois aparece y,dy que facilita a substituição.

Passo 3

Para a integral interna em y, fazemos a substituição
u = 1 + x^2 + y^2, du = 2y,dy
Os limites vão de u(0)=1+x^2 até u(1)=2+x^2. Assim:
integral0^1 y(1+x^2+y^2)^3/2,dy = 12integral1+x^2^2+x^2 u^-3/2,du = -u^-1/2|1+x^2^2+x^2 = 1raiz1+x^2 - 1raiz2+x^2

Passo 4

A integral externa fica então:
integral0^1l(1raiz1+x^2 - 1raiz2+x^2r),dx
Para cada termo usamos a antiderivada
.

Passo 5

Avaliando de 0 a 1:
  • Primeiro termo: ln(1+raiz2) - ln(1) = ln(1+raiz2).
  • Segundo termo: ln(1+raiz3) - ln(raiz2) = ln(1+raiz3) - tfrac12ln(2).
    Subtraindo, o resultado final é
    .

Resposta

ln(1+raiz2) - ln(1+raiz3) + 12ln(2)

Exercícios relacionados