Determine o volume do sólido limitado pelo parabolóide elíptico z=23 x^2+52 y^2 e pelos planos z=0, x=0, x=2, y=0 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o volume do sólido limitado pelo paraboloide elíptico z = 23x^2 + 52y^2 e pelos planos z=0, x=0, x=2, y=0 e y=1. Isso é um problema de integração dupla em que vamos usar V=integral duplaD f(x,y),dA.

Passo 2

A região D no plano xy é o retângulo 0<= x<=2,;0<= y<=1. Logo, o volume é dado por
V = integral duplaD l(tfrac23x^2 + tfrac52y^2r) ,dA = integralx=0^2integraly=0^1 l(tfrac23x^2 + tfrac52y^2r) ,dy,dx

Passo 3

Separamos a integral em duas partes e calculamos cada uma:
V = integral0^2 l(tfrac23x^2integral0^1 dyr) dx + integral0^2 l(integral0^1 tfrac52y^2,dyr) dx
Calculamos:
integral0^2 tfrac23x^2,dx = tfrac23integral0^2 x^2,dx = tfrac23 cdot tfrac2^33 = tfrac169,
integral0^1 tfrac52y^2,dy = tfrac52 cdot tfrac1^33 = tfrac56, integral0^21,dx = 2
logo a segunda parte é tfrac56times2 = tfrac53.

Passo 4

Somando as duas parcelas, obtemos:
V = tfrac169 + tfrac53 = tfrac169 + tfrac159 = tfrac319

Resposta

tfrac319

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