Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
© y^prime+y=x e^-x+1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação linear de primeira ordem usando fator integrante. A equação é y' + y = x e^-x + 1, que faz parte de Equações Diferenciais Ordinárias lineares de 1º grau e a gente vai precisar identificar p(x), q(x), calcular o fator integrante mu(x), multiplicar a equação por ele e depois integrar.

Passo 2

Primeiro a gente coloca no formato padrão y' + p(x)y = q(x). Aqui temos p(x)=1 e q(x)=x e^-x +1.

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral1,dx=e^x.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=e^x:
e^x y' + e^x y = e^xl(x e^-x +1r) = x + e^x

Passo 5

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de e^x y. Então a equação vira
ddxl(e^x yr) = x + e^x

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y = integral (x + e^x),dx = integral x,dx + integral e^x,dx = x^22 + e^x + C,

Passo 7

Finalmente, isolamos y dividindo por e^x:
y = e^-xl(x^22 + e^x + Cr) = x^22 e^-x + 1 + C e^-x

Resposta

y(x)=tfracx^22e^-x + 1 + Ce^-x, com C constante arbitrária.

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