Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(h) y^prime=x-e^- xy+e^y.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial y' = x - e^-xy + e^y. A tarefa é verificar se ela é separável e, em caso afirmativo, usar o método de separação de variáveis e integração para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro interpretamos y' como dydx e rearranjamos para agrupar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro. Multiplicando ambos os lados por y + e^y e por dx, temos:
(y + e^y),dy = (x - e^-x),dx

Passo 3

Com as variáveis separadas, integramos cada lado. Escrevemos a igualdade das integrais:
integral (y + e^y),dy = integral (x - e^-x),dx

Passo 4

Para calcular essas integrais, usamos as antiderivadas básicas:
integral y,dy = y^22, integral e^y,dy = e^y
integral x,dx = x^22, integral -e^-x,dx = e^-x

Passo 5

Incluindo uma constante de integração C de um dos lados e igualando, obtemos a relação:
y^22 + e^y = x^22 + e^-x + C

Resposta

dfracy^22 + e^y = dfracx^22 + e^-x + C

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