Calcule a integral integral0^3 2 x raiz25-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^3 2x raiz25 - x^2 , dx. Esse exercício está dentro do assunto de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Observamos que temos 25 - x^2 dentro da raiz. Então, vamos definir:
u = 25 - x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx
Isso nos permite substituir 2x , dx por -du na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral0^3 2x raiz25 - x^2 , dx = integralu(0)^u(3) raizu cdot (-du)
Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando x = 0: u = 25 - 0^2 = 25
  • Quando x = 3: u = 25 - 3^2 = 25 - 9 = 16

Passo 5

A integral fica então:
- integral25^16 raizu , du = integral16^25 raizu , du
(Removemos o sinal negativo invertendo os limites de integração.)

Passo 6

Agora, vamos integrar raizu em relação a u:
integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Como estamos resolvendo uma integral definida, aplicamos os limites de 16 a 25.

Passo 7

Aplicando os limites à antiderivada:
[ 23 u^3/2 ]16^25 = 23 (25)^3/2 - 23 (16)^3/2

Passo 8

Calculando cada termo:
25^3/2 = 125 e 16^3/2 = 64
Então:
23 times 125 - 23 times 64 = 2503 - 1283 = 1223

Resposta

1223

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