Calcule a integral dupla.
integral duplaR y e^-x y d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= 3.

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral dupla integral duplaR y e^-x y , dA, onde a região R é definida por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 3. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a encontrar volumes sob superfícies em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integrações iteradas, que é basicamente integrar em uma direção e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Vou optar por integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Então fica assim:
integral0^3 ( integral0^2 y e^-x y , dx ) dy

Passo 3

Vamos focar na integral interna: integral0^2 y e^-x y , dx. Aqui, y é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a x. Então podemos tirar o y da integral:
y integral0^2 e^-x y , dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral integral e^-x y , dx. A antiderivada de e^-x y em relação a x é -1y e^-x y. Aplicando os limites de 0 a 2, temos:
y [ -1y e^-2 y + 1y e^0 ] = y ( 1y - 1y e^-2 y ) = 1 - e^-2 y

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^3 (1 - e^-2 y) , dy

Passo 6

Vamos integrar termo a termo. A integral de 1 em relação a y é y, e a integral de e^-2 y é -12 e^-2 y. Então, temos:
[ y + 12 e^-2 y ]0^3 = (3 + 12 e^-6) - (0 + 12 e^0) = 3 + 12 e^-6 - 12

Passo 7

Simplificando a expressão:
3 - 12 + 12 e^-6 = 52 + 12 e^-6

Resposta

O valor da integral dupla é 52 + 12 e^-6.

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