Calcule a integral dupla.
.
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a encontrar volumes sob superfícies em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integrações iteradas, que é basicamente integrar em uma direção e depois na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Vou optar por integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então fica assim:
Passo 3
Vamos focar na integral interna:
. Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
. Então podemos tirar o
da integral:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral
. A antiderivada de
em relação a
é
. Aplicando os limites de 0 a 2, temos:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
. Então, temos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
O valor da integral dupla é
.