Determine a derivada f^prime da função f(z)=z^2 e^z+i.

Passo 1

O enunciado apresenta a função f(z)=z^2 e^z+i. Para obter f'(z), vamos usar a regra do produto, (uv)'=u'v+uv', e a derivada da exponencial composta, que diz que se u(z)=z+i então ddze^u(z)=u'(z)e^u(z).

Passo 2

Escolhemos u(z)=z^2 e v(z)=e^z+i. Logo ddzu(z)=2z e, pela regra da cadeia, ddzv(z)=1cdot e^z+i=e^z+i.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(z)=u'(z)v(z)+u(z)v'(z)
Substituindo as derivadas, obtemos
f'(z)=2z,e^z+i+z^2,e^z+i

Passo 4

Fatorando e^z+i em comum, vem
f'(z)=e^z+i(2z+z^2)
Para simplificar, podemos reescrever como
f'(z)=z(z+2),e^z+i

Resposta

f'(z)=z(z+2)e^z+i

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