Determine o volume do sólido que é limitado pelo parabolóide z=x^2+y^2+1, pelos 3 planos coordenados e pelos planos x-3=0 e y-3=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer o volume do sólido limitado pelas superfícies z=0 (plano xy), pelo parabolóide z=x²+y²+1 por cima, e pelos planos x=0, x=3, y=0 e y=3. O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla (ou dupla, usando Cavalieri).

Passo 2

O sólido tem projeção D no plano xy dado por 0≤x≤3 e 0≤y≤3, e em cada (x,y) o z varia de 0 até z=x²+y²+1. Logo podemos escrever o volume como integral dupla da função f(x,y)=x²+y²+1 sobre D:
V=integral duplaD (x^2+y^2+1),dA =integralx=0^3integraly=0^3(x^2+y^2+1),dy,dx

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em y. Separamos em três termos:
integral0^3(x^2+y^2+1),dy =integral0^3x^2,dy+integral0^3y^2,dy+integral0^31,dy

Passo 4

Agora cada parte: • integral0^3x^2,dy = x^2l[yr]0^3=3x^2. • integral0^3y^2,dy=l[y^3/3r]0^3=9. • integral0^31,dy=3. Então a integral interna vira 3x^2+9+3=3x^2+12.

Passo 5

Por fim, integramos em x:
V=integral0^3(3x^2+12),dx =3integral0^3x^2,dx+12integral0^31,dx

Passo 6

Calculando: • 3integral0^3x^2,dx=3l[x^3/3r]0^3=3cdot9=27. • 12integral0^31,dx=12cdot3=36. Somando dá 27+36.
Portanto, o volume do sólido é
V=63

Resposta

63

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