Determine o volume do sólido que é limitado pelo parabolóide
, pelos 3 planos coordenados e pelos planos
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer o volume do sólido limitado pelas superfícies z=0 (plano xy), pelo parabolóide z=x²+y²+1 por cima, e pelos planos x=0, x=3, y=0 e y=3. O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla (ou dupla, usando Cavalieri).
Passo 2
O sólido tem projeção D no plano xy dado por 0≤x≤3 e 0≤y≤3, e em cada (x,y) o z varia de 0 até z=x²+y²+1. Logo podemos escrever o volume como integral dupla da função f(x,y)=x²+y²+1 sobre D:
Passo 3
Vamos calcular a integral interna em y. Separamos em três termos:
Passo 4
Agora cada parte: •
. •
. •
. Então a integral interna vira
.
Passo 5
Por fim, integramos em x:
Passo 6
Calculando: •
. •
. Somando dá 27+36.
Portanto, o volume do sólido é
Portanto, o volume do sólido é
Resposta
63