Calcule a integral dupla.
integral duplaR(y+x y^-2) d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= 2,1 <= y <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \r
integral duplaRl(y + x,y^-2r),dA, \r
onde \r
R = (x,y)mid 0 <= x <= 2,;1 <= y <= 2 \r
O conteúdo da matéria é a aplicação do Teorema de Fubini para avaliar integrais duplas em domínios retangulares, integrando primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, como o integrando é contínuo em R, podemos escrever \r
integral duplaRl(y + x,y^-2r),dA = integraly=1^2!!integralx=0^2l(y + x,y^-2r),dx,dy

Passo 3

Calculamos a integral interna em x, tratando y como constante: \r
integralx=0^2l(y + x,y^-2r),dx = integral0^2y,dx + integral0^2x,y^-2,dx \r
Aqui \r
integral0^2y,dx = yl[xr]0^2 = 2y,
integral0^2x,y^-2,dx = y^-2,x^22|0^2 = y^-2,42 = 2,y^-2 \r
Logo a integral interna é \r
2y + 2,y^-2

Passo 4

Agora integramos em y de 1 até 2: \r
integral1^2l(2y + 2,y^-2r),dy = integral1^22y,dy + integral1^22,y^-2,dy \r
As primitiva de 2y é y^2, e de 2,y^-2 é -2,y^-1. Então\r
integral1^22y,dy = l[y^2r]1^2 = 4 - 1 = 3,
integral1^22,y^-2,dy = l[-2,y^-1r]1^2 = l(-2cdottfrac12r) - l(-2cdot1r) = -1 + 2 = 1 \r
Somando as duas parcelas, obtemos \r
3 + 1 = 4

Resposta

O valor da integral dupla é 4.

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