Utilizando o limite fundamental trigonométrico, calcule:
lim x 1 sen(raizx-1)x-1

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limx to 1 sin(raizx-1)x-1
O conteúdo que vamos usar é o limite fundamental trigonométrico
limu to 0 sin(u)u = 1
e manipulação algébrica para reduzir nosso problema a esse caso.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raizx - 1
Quando x to 1, temos raizxto1 e portanto uto0. Além disso,
raizx = 1+u Longrightarrow x = (1+u)^2 = 1 + 2u + u^2 Longrightarrow x-1 = 2u + u^2 = u,(2+u)

Passo 3

Reescrevemos a expressão do limite em função de u:
sin(raizx-1)x-1 = sin(u)u,(2+u) = sin(u)u cdot 12+u

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando uto0:
limuto0 sin(u)u = 1, limuto0 12+u = 12
Logo o produto dos limites é
1 cdot 12 = 12

Resposta

12

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