Calcule a integral dupla.
integral0^ln 3 integral0^ln 2 e^x+y d y d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral dupla integral0^ln 3integral0^ln 2 e^x+y,dy,dx. Isso envolve integração iterada de funções exponenciais em um retângulo, usando que integral e^u,du = e^u + C e que podemos fatorar termos constantes em cada etapa.

Passo 2

Para a integral interna em y, tratamos x como constante. Observamos que e^x+y = e^x e^y, então podemos escrever:
integral0^ln 2 e^x+y,dy = e^x integral0^ln 2 e^y,dy = e^x l[e^yr]0^ln 2 = e^x(2 - 1) = e^x

Passo 3

Agora calculamos a integral externa em x:
integral0^ln 3 e^x,dx = l[e^xr]0^ln 3 = 3 - 1 = 2

Passo 4

Portanto, reunindo as duas etapas da integração iterada, obtemos o valor final da integral dupla.

Resposta

2

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