Calcule a integral dupla.
integral0^ln 2 integral0^1 x y e^y^2 x d y d x

Passo 1

Estamos calculando a integral dupla I=integral0^ln2integral0^1 x y e^y^2 x,dy,dx. O tema é integrais iteradas e usaremos a definição de integral dupla como integral iterada, além de substituição para integrar em y.

Passo 2

Começamos integrando em y. Definimos t=y^2, logo dt=2y,dy ou y,dy=dt/2. Quando y vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. Assim,
nabla I(x)=integral0^1y,e^y^2x,dy=integral0^1e^t x,dt2=12integral0^1e^t x,dt=12x(e^x-1)

Passo 3

Substituindo de volta em I, temos
I=integral0^ln2xcdot12x(e^x-1),dx=12integral0^ln2(e^x-1),dx

Passo 4

Agora integramos em x:
I=12l[integral0^ln2e^x,dx-integral0^ln21,dxr]=12l[e^x-xr]0^ln2=12(2-1-ln2)

Resposta

I=1-ln22

Exercícios relacionados