Use o Teorema de Cauchy-Riemann em Coordenadas Polares (sugestão: ler a seção 24 do Churchill) para mostrar que cada uma dessas funções é derivável no domínio de definição indicado e encontre f^prime(z).
f(z)=1 / z^4 (z neq 0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(z)=1/z^4, definida em Csetminus0, é derivável usando as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares e, em seguida, encontrar f'(z). Vamos usar que z=re^itheta e aplicar a teoria de Churchill (seção 24).

Passo 2

Escrevemos f em coordenadas polares e separamos em parte real e imaginária. Temos:
f(re^itheta) = 1r^4e^4itheta = r^-4e^-4itheta = r^-4(cos4theta - isin4theta)

Passo 3

Portanto definimos as funções reais u(r,theta) e v(r,theta):
u(r,theta)=r^-4cos4theta, v(r,theta)=-r^-4sin4theta

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
ur = -4r^-5cos4theta, utheta = -4r^-4sin4theta,
vr = 4r^-5sin4theta, vtheta = -4r^-4cos4theta

Passo 5

Verificamos as equações de Cauchy–Riemann em polares:
  • ur = 1rvtheta pois -4r^-5cos4theta = (1/r)(-4r^-4cos4theta).
  • vr = -1rutheta pois 4r^-5sin4theta = -(1/r)(-4r^-4sin4theta).
    Como u e v são C^1 para r>0 e satisfazem as equações, f é holomorfa em Csetminus0.

Passo 6

Para obter a derivada, usamos a fórmula em coordenadas polares:
f'(re^itheta) = e^-ithetal(ur + i vrr)

Passo 7

Substituindo ur e vr:
f'(re^itheta) = e^-ithetal(-4r^-5cos4theta + i,4r^-5sin4thetar) =4r^-5e^-itheta(-cos4theta + isin4theta)

Passo 8

Observando que -cos4theta + isin4theta)= -e^-i4theta, obtemos
f'(re^itheta) = -4r^-5e^-i(theta+4theta) = -4r^-5e^-i5theta = -4z^5

Resposta

f'(z) = -dfrac4z^5, zneq0

Exercícios relacionados