Use o Teorema de Cauchy-Riemann em Coordenadas Polares (sugestão: ler a seção 24 do Churchill) para mostrar que cada uma dessas funções é derivável no domínio de definição indicado e encontre
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
, definida em
, é derivável usando as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares e, em seguida, encontrar
. Vamos usar que
e aplicar a teoria de Churchill (seção 24).
Passo 2
Escrevemos
em coordenadas polares e separamos em parte real e imaginária. Temos:
Passo 3
Portanto definimos as funções reais
e
:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann em polares:
-
pois . -
pois .
Comoe são para e satisfazem as equações, é holomorfa em .
Passo 6
Para obter a derivada, usamos a fórmula em coordenadas polares:
Passo 7
Substituindo
e
:
Passo 8
Observando que
, obtemos