Calcule a integral dupla integral0^pi integralx^pi cos (y)y d y d x

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular a integral dupla
integral0^pi integralx^pi cos(y)y ,dy,dx
O conteúdo principal aqui é trocar a ordem de integração para simplificar os cálculos.

Passo 2

O domínio de integração é o conjunto D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ π e x ≤ y ≤ π }. Para visualizar melhor, invertermos a ordem de integração. Na nova ordem, primeiro y varia de 0 a π e, para cada y, x varia de 0 a y. Assim reescrevemos:
integral0^pi integralx^pi cos(y)y ,dy,dx = integral0^pi integral0^y cos(y)y ,dx,dy

Passo 3

Dentro dessa nova integral, o integrando cos(y)y é constante em relação a x. Então fazemos primeiro
integral0^y cos(y)y ,dx = cos(y)y integral0^y dx = cos(y)y cdot y = cos(y)

Passo 4

Sobrou então uma integral simples em y:
integral0^pi cos(y) ,dy = l[sin(y)r]0^pi = sin(pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0

Resposta

0

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