Calcule a integral dupla integral0^pi2 integralx^pi2 sen(y)y d y d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral dupla I=integral0^pi2integralx^pi2sin(y)y,dy,dx. O conteúdo principal é troca de ordem de integração em integrais duplas, usando o Teorema de Fubini, e depois avaliar uma integral simples de sin y.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região de integração no plano (x,y): temos 0<= x<= tfracpi2 e, para cada x, x<= y<= tfracpi2. Isso é um triângulo acima da reta y=x até y=tfracpi2.
Agora, trocamos a ordem de integração. Para cada y entre 0 e tfracpi2, x varia de 0 até y. Assim
I=integral0^pi2integralx^pi2sin(y)y,dy,dx = integral0^pi2integral0^ysin(y)y,dx,dy

Passo 3

Dentro da integral em x, sin(y)y é constante em relação a x. Logo,
integral0^ysin(y)y,dx = sin(y)y cdot (y-0) = sin(y)

Passo 4

Substituindo de volta, fica
I=integral0^pi2sin(y),dy

Passo 5

Por fim, calculamos a integral de sin y:
integral0^pi2sin(y),dy = [-cos(y)]0^pi2 = (-cos(tfracpi2)) - (-cos(0)) = 0 - (-1) =1

Resposta

1

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