Calcule a integral dupla
integralR integral[y+y^2 cos (x)] d A
onde R é a região retangular 0 <= x <= pi2 e -3 <= y <= 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaRl(y + y^2cos(x)r),dA, onde R é o retângulo definido por 0 <= x <= tfracpi2 e -3 <= y <= 3. O conteúdo de matéria é integral dupla em região retangular e vamos precisar usar o teorema de Fubini para escrever como integral iterada e depois encontrar antiderivadas em y e em x.

Passo 2

Pela regra de Fubini, podemos trocar a ordem de integração e escrever:
integral duplaRl(y + y^2cos(x)r),dA = integral0^pi2integral-3^3l(y + y^2cos(x)r),dy,dx

Passo 3

Para calcular a integral interna em y, encontramos a antiderivada de cada termo:
integrall(y + y^2cos(x)r),dy = integral y,dy + cos(x)integral y^2,dy = y^22 + y^33cos(x)

Passo 4

Agora avaliamos essa antiderivada de y=-3 até y=3:
l[tfracy^22 + tfracy^33cos(x)r]-3^3 = l(tfrac92 + 9cos(x)r) - l(tfrac92 - 9cos(x)r) = 18cos(x)
Note que o termo y^2/2 é par e se anula na diferença, enquanto o termo com cos(x) sobrevive.

Passo 5

Ficamos então com a integral em x:
integral0^pi218cos(x),dx = 18l[sin(x)r]0^pi2 = 18,(1-0) = 18

Resposta

18

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