Calcule a integral dupla
onde
é a região retangular
e
.
Sugestão: lembrar que
Sugestão: lembrar que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
onde a região $ R $ é o retângulo definido por $ 1 \leq x \leq 3 $ e $ 0 \leq y \leq 1 $. A matéria envolvida aqui são integrais duplas, usadas para calcular volumes ou áreas em regiões bidimensionais. Vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e aplicar técnicas de substituição quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral dupla. Ela pode ser calculada iterando integrais simples. Podemos decidir integrar primeiro em relação a $ x $ ou a $ y $. Neste caso, vamos integrar primeiro em relação a $ x $, mantendo $ y $ constante.
A integral fica:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a $ x $:
Aqui, $ y $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ x $. Podemos fatorar $ \frac{y}{2 - y^{2}} $ para facilitar a integração:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de $ x $ em relação a $ x $:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral interna de volta, temos:
Agora, nossa integral dupla se reduz a uma única integral em relação a $ y $:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar $ u = 2 - y^{2} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ y $ é:
Substituindo na integral:
Passo 7
A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é o logaritmo natural:
Substituindo $ u = 2 - y^{2} $ de volta:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de $ y = 0 $ a $ y = 1 $:
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
Resposta
O valor da integral dupla é $ 2 \ln(2) $.