Calcule a integral dupla
integralR integral x y2-y^2 d A
onde R é a região retangular 1 <= x <= 3 e 0 <= y <= 1.
Sugestão: lembrar que integral d uu=ln (u)+c

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
integralR integral x y2 - y^2 ,dA
onde a região $ R $ é o retângulo definido por $ 1 \leq x \leq 3 $ e $ 0 \leq y \leq 1 $. A matéria envolvida aqui são integrais duplas, usadas para calcular volumes ou áreas em regiões bidimensionais. Vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e aplicar técnicas de substituição quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral dupla. Ela pode ser calculada iterando integrais simples. Podemos decidir integrar primeiro em relação a $ x $ ou a $ y $. Neste caso, vamos integrar primeiro em relação a $ x $, mantendo $ y $ constante.
A integral fica:
x

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a $ x $:
x
Aqui, $ y $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ x $. Podemos fatorar $ \frac{y}{2 - y^{2}} $ para facilitar a integração:
integral1^3 x y2 - y^2 ,dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de $ x $ em relação a $ x $:
x

Passo 5

Substituindo o resultado da integral interna de volta, temos:
y2 - y^2 times 4 = 4y2 - y^2
Agora, nossa integral dupla se reduz a uma única integral em relação a $ y $:
y

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar $ u = 2 - y^{2} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ y $ é:
u = 2 - y^2
Substituindo na integral:
u

Passo 7

A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é o logaritmo natural:
1u
Substituindo $ u = 2 - y^{2} $ de volta:
u

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de $ y = 0 $ a $ y = 1 $:
y = 0
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
y = 1

Resposta

O valor da integral dupla é $ 2 \ln(2) $.

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