Verifique a continuidade das funções abaixo
Passo 1
O enunciado pede para verificar onde a função
f(x,y)=
é contínua. O conteúdo envolve definição de continuidade em R^2 e análise de limite no ponto (0,0).
f(x,y)=
é contínua. O conteúdo envolve definição de continuidade em R^2 e análise de limite no ponto (0,0).
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0), o denominador x2+xy+y2 é sempre positivo. De fato,
e só zera em (0,0). Sendo f o quociente de dois polinômios com denominador não nulo, f é contínua em todo ponto diferente de (0,0).
Passo 3
Para analisar a continuidade em (0,0), precisamos verificar se
Na reta y=mx (com m constante), temos
que depende de m. Como o limite varia com a inclinação m, o limite não existe em (0,0). Portanto f não é contínua em (0,0).
Resposta
A função é contínua em todos os pontos (x,y)\neq(0,0) e descontínua em (0,0).