Verifique a continuidade das funções abaixo
f(x, y)= x yx^2+x y+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar onde a função
f(x,y)= xyx^2+xy+y^2&se;(x,y)neq(0,0)0&se;(x,y)=(0,0)
é contínua. O conteúdo envolve definição de continuidade em R^2 e análise de limite no ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0), o denominador x2+xy+y2 é sempre positivo. De fato,
x^2+xy+y^2=(x+tfrac y2)^2+tfrac34y^2>=0
e só zera em (0,0). Sendo f o quociente de dois polinômios com denominador não nulo, f é contínua em todo ponto diferente de (0,0).

Passo 3

Para analisar a continuidade em (0,0), precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)xyx^2+xy+y^2=0
Na reta y=mx (com m constante), temos
f(x,mx)=xcdot(mx)x^2+x(mx)+(mx)^2=m1+m+m^2,
que depende de m. Como o limite varia com a inclinação m, o limite não existe em (0,0). Portanto f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em todos os pontos (x,y)\neq(0,0) e descontínua em (0,0).

Exercícios relacionados