Calcule a integral dupla
integralR integral x y e^x+y d A
onde R é a região retangular 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaR x y e^x+y,dA sobre o retângulo 0<= x<=1, 0<= y<=1. O conteúdo envolvido é integrais duplas e aplicação do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e fatorar a exponencial.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos a integral como iterada e fatoramos e^x+y:
integral duplaR x y e^x+y,dA = integral0^1!!integral0^1 x y e^x+y,dy,dx
Note que
x y e^x+y = x e^x cdot y e^y

Passo 3

Realizamos primeiro a integral interna em y, tratando x e^x como constante:
integral0^1 y e^y ,dy
Usamos integração por partes: seja u=y, dv=e^y dy, então du=dy e v=e^y. Logo
integral y e^y dy = y e^y - integral e^y dy = (y-1)e^y + C
Avaliando de 0 a 1:
integral0^1 y e^y dy = [(y-1)e^y]0^1 = (1-1)e^1 - (0-1)e^0 = 1

Passo 4

Substituindo de volta na iterada, sobra a integral em x:
integral0^1 x e^x l(integral0^1 y e^y dyr) dx = integral0^1 x e^x cdot 1 ;dx = integral0^1 x e^x dx

Passo 5

Para integral0^1 x e^x dx, aplicamos integração por partes novamente: u=x, dv=e^x dx du=dx, v=e^x. Assim
integral x e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x (x-1) + C
Avaliando de 0 a 1:
integral0^1 x e^x dx = [e^x(x-1)]0^1 = e(1-1) - [1(0-1)] = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados