Calcule a integral dupla
onde
é a região retangular
e
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral dupla
sobre o retângulo
,
. O conteúdo envolvido é integrais duplas e aplicação do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e fatorar a exponencial.
Passo 2
Pelo Teorema de Fubini, escrevemos a integral como iterada e fatoramos
:
Note que
Passo 3
Realizamos primeiro a integral interna em
, tratando
como constante:
Usamos integração por partes: seja
,
, então
e
. Logo
Avaliando de 0 a 1:
Passo 4
Substituindo de volta na iterada, sobra a integral em
:
Passo 5
Para
, aplicamos integração por partes novamente:
,
dá
,
. Assim
Avaliando de 0 a 1:
Resposta
1