Dado as funçoes
raizx+y+raizx y=6
e
g(x)=x^5 Ln(x)
encontre y^prime e g^(6)(x)

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve cálculo. Temos duas partes:
  1. Encontrar a derivada $ y’ $ a partir da equação y' . Para isso, vamos usar a derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando elas estão relacionadas de forma implícita.
  2. Calcular a sexta derivada de $ g(x) = x^{5} \ln(x) $. Aqui, vamos precisar aplicar regras de derivação sucessiva, como a regra do produto e as propriedades das derivadas de funções logarítmicas e polinomiais.

Passo 2

Vamos começar encontrando $ y’ $ usando derivada implícita.
Primeiro, temos a equação:
y'
Para encontrar $ y’ $, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $, lembrando que $ y $ é função de $ x $.

Passo 3

Derivando raizx + y:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de raizu em relação a $ x $ é x .
Então,
12raizu cdot dudx

Passo 4

Derivando raizxy:
Aqui usamos a regra do produto dentro da raiz. Primeiro, derivamos $ xy $:
xy
Então, aplicando a regra da cadeia:
ddx(xy) = y + x y'

Passo 5

Derivando o lado direito da equação:
A derivada de uma constante é zero, então:
ddx 6 = 0

Passo 6

Juntando tudo:
12raizx + y (1 + y') + 12raizxy (y + x y') = 0

Passo 7

Isolando $ y’ $:
Multiplicando ambos os lados por $ 2\sqrt{x + y}\sqrt{xy} $ para eliminar os denominadores:
y'
Agrupando os termos com $ y’ $:
2raizx + yraizxy
Finalmente, isolando $ y’ $:
(1 + y') raizxy + (y + x y') raizx + y = 0

Passo 8

Agora, vamos calcular $ g^{(6)}(x) $, a sexta derivada de $ g(x) = x^{5} \ln(x) $.
Primeiro, vamos simplificar a função:
g^(6)(x)
Aplicaremos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ v + u v’ $.

Passo 9

Calculando as primeiras derivadas:
1ª Derivada:
g'(x) = 5x^4 ln(x) + x^4
2ª Derivada:
g''(x) = 20x^3 ln(x) + 9x^3
3ª Derivada:
g'''(x) = 60x^2 ln(x) + 27x^2
4ª Derivada:
g''''(x) = 120x ln(x) + 54x
5ª Derivada:
g'''''(x) = 120 ln(x) + 174
6ª Derivada:
g^(6)(x) = 120x

Resposta

y' = -raizxy - y raizx + y raizxy + x raizx + y , g^(6)(x) = 120x

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