Dado as funçoes
e
encontre
e
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve cálculo. Temos duas partes:
-
Encontrar a derivada $ y’ $ a partir da equação
. Para isso, vamos usar a derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando elas estão relacionadas de forma implícita. -
Calcular a sexta derivada de $ g(x) = x^{5} \ln(x) $. Aqui, vamos precisar aplicar regras de derivação sucessiva, como a regra do produto e as propriedades das derivadas de funções logarítmicas e polinomiais.
Passo 2
Vamos começar encontrando $ y’ $ usando derivada implícita.
Primeiro, temos a equação:
Para encontrar $ y’ $, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $, lembrando que $ y $ é função de $ x $.
Passo 3
Derivando
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a $ x $ é
.
Então,
Passo 4
Derivando
:
Aqui usamos a regra do produto dentro da raiz. Primeiro, derivamos $ xy $:
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Derivando o lado direito da equação:
A derivada de uma constante é zero, então:
Passo 6
Juntando tudo:
Passo 7
Isolando $ y’ $:
Multiplicando ambos os lados por $ 2\sqrt{x + y}\sqrt{xy} $ para eliminar os denominadores:
Agrupando os termos com $ y’ $:
Finalmente, isolando $ y’ $:
Passo 8
Agora, vamos calcular $ g^{(6)}(x) $, a sexta derivada de $ g(x) = x^{5} \ln(x) $.
Primeiro, vamos simplificar a função:
Aplicaremos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ v + u v’ $.
Passo 9
Calculando as primeiras derivadas:
1ª Derivada:
2ª Derivada:
3ª Derivada:
4ª Derivada:
5ª Derivada:
6ª Derivada: