SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve duas técnicas de cálculo: substituição e integração por partes. Vamos precisar aplicar essas duas estratégias passo a passo para chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a técnica de substituição. A ideia aqui é simplificar a integral escolhendo uma parte da expressão para ser substituída por uma nova variável, geralmente chamada de $ u $.
Vamos definir:
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de $ u $. Observamos que $ x^{3} = x \cdot x^{2} = x \cdot u $. Substituindo na integral:
Sabemos que $ x , dx = \frac{du}{2} $, então substituindo:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral $ \int u \cos(u) , du $. Para isso, vamos utilizar a técnica de integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
Vamos escolher:
$$
$$
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
A integral $ \int \sin(u) , du $ é fácil de resolver:
Portanto:
Passo 6
Voltando à nossa integral original, lembrando que tínhamos:
Substituindo $ u = x^{2} $ de volta:
Resposta
A integral
é igual a: