SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
integral x^3 cdot cos (x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3 cdot cos (x^2) dx. Esse exercício envolve duas técnicas de cálculo: substituição e integração por partes. Vamos precisar aplicar essas duas estratégias passo a passo para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a técnica de substituição. A ideia aqui é simplificar a integral escolhendo uma parte da expressão para ser substituída por uma nova variável, geralmente chamada de $ u $.
Vamos definir:
u
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u = x^2
Isso significa que:
u

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de $ u $. Observamos que $ x^{3} = x \cdot x^{2} = x \cdot u $. Substituindo na integral:
u
Sabemos que $ x , dx = \frac{du}{2} $, então substituindo:
x^3 = x cdot x^2 = x cdot u

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral $ \int u \cos(u) , du $. Para isso, vamos utilizar a técnica de integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
integral u cos(u) , du
Vamos escolher:
$$
integral u , dv = uv - integral v , du ãã
$$

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u cos(u) , du = u sin(u) - integral sin(u) , du
A integral $ \int \sin(u) , du $ é fácil de resolver:
integral sin(u) , du
Portanto:
integral sin(u) , du = -cos(u) + C

Passo 6

Voltando à nossa integral original, lembrando que tínhamos:
12 integral u cos(u) , du = 12 ( u sin(u) + cos(u) ) + C
Substituindo $ u = x^{2} $ de volta:
u = x^2

Resposta

A integral integral x^3 cdot cos (x^2) dx é igual a:
12 ( x^2 sin(x^2) + cos(x^2) ) + C

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