integral0^2 raiz25+100 t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de $ \sqrt{25 + 100 t^{2}} $ de $ t = 0 $ até $ t = 2 $. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer a fórmula de integração de funções quadráticas dentro de uma raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observamos que:
raiz25 + 100 t^2 = raiz25 (1 + 4 t^2) = 5 raiz1 + 4 t^2
Isso foi possível fatorando o 25 de dentro da raiz.

Passo 3

Agora, reconhecemos que a integral $ \int \sqrt{1 + (2t)^2} , dt $ é uma forma padrão que podemos resolver usando uma fórmula de integração conhecida:
integral raiz1 + (2t)^2 , dt
Aqui, $ a^{2} = 25 $ e $ b^{2} = 100 $, então $ a = 5 $ e $ b = 10 $.

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa integral, temos:
integral raiz25 + 100 t^2 , dt = t2 raiz25 + 100 t^2 + 2520 ln ( 10 t + raiz25 + 100 t^2 ) + C
Simplificando os coeficientes:
= t2 raiz25 + 100 t^2 + 54 ln ( 10 t + raiz25 + 100 t^2 ) + C

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão de $ t = 0 $ até $ t = 2 $:
t = 0
Primeiro, calculamos para $ t = 2 $:
t = 2
Sabendo que $ \sqrt{425} = 5\sqrt{17} $, temos:
[ t2 raiz25 + 100 t^2 + 54 ln ( 10 t + raiz25 + 100 t^2 ) ]0^2
Agora, para $ t = 0 $:
t = 2

Resposta

Subtraindo as duas avaliações, a integral definida é:
5raiz17 + 54 ln ( 20 + 5raiz175 ) = 5raiz17 + 54 ln ( 4 + raiz17 )

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