Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de $ \sqrt{25 + 100 t^{2}} $ de $ t = 0 $ até $ t = 2 $. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer a fórmula de integração de funções quadráticas dentro de uma raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observamos que:
Isso foi possível fatorando o 25 de dentro da raiz.
Passo 3
Agora, reconhecemos que a integral $ \int \sqrt{1 + (2t)^2} , dt $ é uma forma padrão que podemos resolver usando uma fórmula de integração conhecida:
Aqui, $ a^{2} = 25 $ e $ b^{2} = 100 $, então $ a = 5 $ e $ b = 10 $.
Passo 4
Aplicando a fórmula à nossa integral, temos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão de $ t = 0 $ até $ t = 2 $:
Primeiro, calculamos para $ t = 2 $:
Sabendo que $ \sqrt{425} = 5\sqrt{17} $, temos:
Agora, para $ t = 0 $:
Resposta
Subtraindo as duas avaliações, a integral definida é: