Calcule a integral dupla, invertendo a ordem de integração:
\int_{0}^{1} \int_{2 x}^{2} e^{y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{1}\int_{2x}^{2} e^{y^{2}}\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais duplas. Para resolver vamos (i) descrever a região de integração no plano xy, (ii) inverter a ordem de integração e (iii) calcular a integral resultante.

Passo 2

A região de integração é
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;2x \le y \le 2\}.
Para inverter a ordem, fixamos y. Das condições vem
0 \le x \le 1,\quad 2x \le y\;\Longrightarrow\;x \le \tfrac y2.
Como y\le2 implica \tfrac y2\le1, a condição x\le1 é automática. Assim y varia de 0 a 2 e, para cada y, x varia de 0 a \tfrac y2.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração obtemos
\int_{0}^{1}\int_{2x}^{2} e^{y^{2}}\,dy\,dx = \int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{y/2} e^{y^{2}}\,dx\,dy.

Passo 4

Na integral interna e^{y^{2}} é constante em x, logo
\int_{x=0}^{y/2} e^{y^{2}}\,dx =e^{y^{2}}\bigl[x\bigr]_{0}^{y/2} =e^{y^{2}}\frac{y}{2}.
Portanto resta calcular
\int_{0}^{2}\frac{y}{2}e^{y^{2}}\,dy.

Passo 5

Para \displaystyle \int_{0}^{2}\frac{y}{2}e^{y^{2}}\,dy
fazemos t=y^{2}, de modo que dt=2y\,dy ou y\,dy=\tfrac{dt}{2}. Então
\int_{0}^{2}\frac{y}{2}e^{y^{2}}\,dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y e^{y^{2}}\,dy =\frac{1}{2}\int_{t=0}^{4}e^{t}\frac{dt}{2} =\frac{1}{4}\int_{0}^{4}e^{t}\,dt =\frac{1}{4}\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{4} =\frac{e^{4}-1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{4}-1}{4}

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