Calcule a integral dupla, invertendo a ordem de integração:
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{1} y \cos \left(x^{5}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{1} y \cos\bigl(x^{5}\bigr)\,dx\,dy
invertendo a ordem de integração. O conteúdo principal é aplicar o Teorema de Fubini para regiões do tipo I e depois integrar funções de uma variável, usando substituição quando necessário.

Passo 2

Identificamos a região de integração
D = \{(x,y)\mid 0 \le y \le 1,\;\sqrt{y} \le x \le 1\}.
Como x\ge\sqrt{y} é equivalente a y\le x^{2}, podemos descrever D também por
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le x^{2}\}.

Passo 3

Reescrevendo a integral com a ordem invertida (primeiro em y, depois em x), fica
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{1} y \cos\bigl(x^{5}\bigr)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}} y \cos\bigl(x^{5}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos em y primeiro, tratando \cos(x^{5}) como constante:
\int_{0}^{x^{2}} y \cos\bigl(x^{5}\bigr)\,dy = \cos\bigl(x^{5}\bigr)\,\int_{0}^{x^{2}} y \,dy = \cos\bigl(x^{5}\bigr)\,\Bigl[\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{x^{2}} = \frac{x^{4}}{2}\,\cos\bigl(x^{5}\bigr).

Passo 5

Agora a integral em x fica
\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{2}\,\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{4}\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,dx.
Fazemos a substituição u = x^{5}, então du = 5x^{4}\,dx e x^{4}\,dx = \frac{du}{5}. Os limites vão de u(0)=0 até u(1)=1, logo
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{4}\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du = \frac{1}{10}\Bigl[\sin(u)\Bigr]_{0}^{1} = \frac{\sin(1)}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin(1)}{10}

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