Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares:
\int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-a}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dy\,dx
usando coordenadas polares. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais múltiplas, com Jacobiano r.

Passo 2

Identificamos a região de integração R no plano (x,y):
é o semicírculo de raio a acima do eixo x, ou seja
R = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2},\;y\ge0\}.

Passo 3

Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA= r\,dr\,d\theta. Para cobrir R tomamos
0\le r\le a,\quad 0\le\theta\le\pi.
A integral passa a ser
\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{a} e^{-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r com a substituição u=r^{2}, du=2r\,dr:
\int_{0}^{a} r\,e^{-r^{2}}\,dr =\frac12\int_{u=0}^{a^{2}} e^{-u}\,du =\frac12\bigl[\,1 - e^{-a^{2}}\bigr].
Em seguida a parte angular é
\int_{0}^{\pi}d\theta = \pi.
Multiplicando os resultados, obtemos
\pi\cdot\frac12\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr) =\frac{\pi}{2}\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr).

Resposta

\frac{\pi}{2}\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr).

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