(20 pontos) Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right).
(a) Encontre o complemento ortogonal do espaço coluna de A.
(b) Seja v=\left(\begin{array}{c}-5 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right). Escreva este vetor como uma soma v=a+b onde a é um vetor no espaço nulo de A^{T} e a \perp b.

Sol:

(a) [C(A)]^{\perp}=N\left(A^{T}\right)=\operatorname{Ger}\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right), como se vê através de A^{T}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) e de sua forma escalonada U=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)
(b) Novamente pelas propriedades da projeção ortogonal, podemos tomar
b=P\left(\begin{array}{c} -1 \\\\ 1 \\\\ -1 \end{array}\right)(v)=\left(\begin{array}{c} -2 \\\\ 2 \\\\ -2 \end{array}\right)
e a=v-b=\left(\begin{array}{c}-3 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right). Na verdade, esta é a única maneira de encontrar respostas não-nulas a e b. Porém o enunciado também admitia a resposta trivial a=\overrightarrow{0} \mathrm{e} b=v.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}
e pede:
(a) o complemento ortogonal do espaço coluna de A;
(b) decompor o vetor
v=\begin{pmatrix}-5\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}
como v=a+b com a\in N(A^T) e a\perp b.
Vamos usar os conceitos de espaço nulo, complementar ortogonal e projeção ortogonal.

Passo 2

Para (a), lembramos que
[C(A)]^\perp = N(A^T).
Então calculamos
A^T = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\\ 1 & 1 & 0\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
e resolvemos A^T x=0.

Passo 3

O sistema A^T x=0\) é \[\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 0,\\\ x_1 + x_2 = 0,\\\ x_2 + x_3 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x_1=-x_2\]. Da terceira, \(x_3=-x_2. Substituindo na primeira obtém-se 0=0, sem restrição extra. Logo
N(A^T) = \text{span}\{(-1,1,-1)\}.
Portanto
[C(A)]^\perp = N(A^T) = \langle(-1,1,-1)\rangle.

Passo 4

Para (b), queremos v=a+b com a\in N(A^T) e a\perp b. Isso equivale a escrever a como projeção ortogonal de v em \text{span}\{u\}, onde
u = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
A fórmula da projeção é
a = \frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u.
Calculamos
v\cdot u = (-5)(-1) + 1\cdot1 + 0\cdot(-1) = 6, \quad u\cdot u = (-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3,
logo
a = \frac{6}{3}\,u = 2\,\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 5

A componente ortogonal é
b = v - a = \begin{pmatrix}-5\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}.
De fato a\in N(A^T), a\perp b e v=a+b.

Resposta

(a) [C(A)]^\perp = N(A^T) = \text{span}\{(-1,1,-1)\}.
(b) Uma escolha é
a = \begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}.

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