(20 pontos) Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right).
(a) Encontre o complemento ortogonal do espaço coluna de A.
(b) Seja v=\left(\begin{array}{c}-5 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right). Escreva este vetor como uma soma v=a+b onde a é um vetor no espaço nulo de A^{T} e a \perp b.
Sol:
(a) [C(A)]^{\perp}=N\left(A^{T}\right)=\operatorname{Ger}\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right), como se vê através de A^{T}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) e de sua forma escalonada U=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)
(b) Novamente pelas propriedades da projeção ortogonal, podemos tomar
e a=v-b=\left(\begin{array}{c}-3 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right). Na verdade, esta é a única maneira de encontrar respostas não-nulas a e b. Porém o enunciado também admitia a resposta trivial a=\overrightarrow{0} \mathrm{e} b=v.