Considere a função f(x, y)=x^2+2 x y-3 y^2 e a parametrização x(t)=t^2-1 e y(t)=t^3+1.
(d) Calcule d f / d t a partir do item anterior.

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=x²+2xy−3y² e a parametrização x(t)=t²−1, y(t)=t³+1. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: vamos usar as derivadas parciais de f e as derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y. Pela definição, temos:
fx=partial fpartial x=2x+2y,
fy=partial fpartial y=2x-6y

Passo 3

Em seguida, derivamos x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt=2t,
dydt=3t^2

Passo 4

Agora substituímos x=x(t)=t²−1 e y=y(t)=t³+1 em f_x e f_y para expressá-las em função de t:
fx(t)=2(t^2-1)+2(t^3+1)=2t^2-2+2t^3+2=2t^3+2t^2,
fy(t)=2(t^2-1)-6(t^3+1)=2t^2-2-6t^3-6=-6t^3+2t^2-8

Passo 5

Por fim, aplicamos a regra da cadeia:
dfdt=fx(t)cdotdxdt+fy(t)cdotdydt

Passo 6

Substituindo tudo:
dfdt=(2t^3+2t^2)cdot(2t)+(-6t^3+2t^2-8)cdot(3t^2)

Passo 7

Basta agora expandir e simplificar:
dfdt=4t^4+4t^3-18t^5+6t^4-24t^2,
dfdt=-18t^5+10t^4+4t^3-24t^2

Resposta

-18t^5+10t^4+4t^3-24t^2

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