Considere a função
e a parametrização
e
.
(d) Calcule
a partir do item anterior.
(d) Calcule
Passo 1
Estamos com a função f(x,y)=x²+2xy−3y² e a parametrização x(t)=t²−1, y(t)=t³+1. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: vamos usar as derivadas parciais de f e as derivadas de x(t) e y(t).
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y. Pela definição, temos:
Passo 3
Em seguida, derivamos x(t) e y(t) em relação a t:
Passo 4
Agora substituímos x=x(t)=t²−1 e y=y(t)=t³+1 em f_x e f_y para expressá-las em função de t:
Passo 5
Por fim, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Substituindo tudo:
Passo 7
Basta agora expandir e simplificar: