Calcule a integral dupla invertendo primeiro a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
invertendo primeiro a ordem de integração. O conteúdo é troca de ordem em integrais duplas e cálculo de antiderivadas em cada variável.
Passo 2
Definimos a região
Para inverter a ordem, encontramos o menor e o maior valor de
em
: quando
temos
variando de
a
. Logo
Passo 3
Para cada
fixo resolvemos
com
.
- Se
, a condição dá , e é menos restritiva. Então
- Se
, a condição vira , e é menos restritiva. Então
Assim a integral vira
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Vamos usar essa antiderivada nos limites de
.
Passo 5
Aplicando em cada parte:
Para
Para
Em seguida integra-se cada expressão resultante em
sobre os respectivos intervalos e soma-se. Esse cálculo completo leva a