Calcule a integral dupla invertendo primeiro a ordem de integração:
\int_{0}^{2} \int_{-x}^{3 x} 5 y^{2} x^{3}+2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{-x}^{3x}\bigl(5y^{2}x^{3}+2\bigr)\,dy\,dx
invertendo primeiro a ordem de integração. O conteúdo é troca de ordem em integrais duplas e cálculo de antiderivadas em cada variável.

Passo 2

Definimos a região
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\,-x\le y\le3x\}.
Para inverter a ordem, encontramos o menor e o maior valor de y em D: quando x=2 temos y variando de -2 a 6. Logo
y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=6.

Passo 3

Para cada y fixo resolvemos -x\le y\le3x com 0\le x\le2.
  • Se -2\le y\le0, a condição y\ge -x x\ge -y, e y\le3x é menos restritiva. Então
x\in[-y,\,2].
  • Se 0\le y\le6, a condição y\le3x vira x\ge y/3, e y\ge -x é menos restritiva. Então
x\in[y/3,\,2].
Assim a integral vira
\int_{y=-2}^{0}\!\int_{x=-y}^{2}\bigl(5y^{2}x^{3}+2\bigr)\,dx\,dy \;+\; \int_{y=0}^{6}\!\int_{x=y/3}^{2}\bigl(5y^{2}x^{3}+2\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

Calculemos a integral interna em x:
\int\bigl(5y^{2}x^{3}+2\bigr)\,dx =5y^{2}\,\frac{x^{4}}{4}+2x =\frac{5}{4}y^{2}x^{4}+2x.
Vamos usar essa antiderivada nos limites de x.

Passo 5

Aplicando em cada parte:
Para -2\le y\le0
\int_{x=-y}^{2}\bigl(5y^{2}x^{3}+2\bigr)\,dx =\Bigl[\frac{5}{4}y^{2}x^{4}+2x\Bigr]_{x=-y}^{2} =\Bigl(\frac{5}{4}y^{2}\,2^{4}+2\cdot2\Bigr) -\Bigl(\frac{5}{4}y^{2}(-y)^{4}+2(-y)\Bigr).
Para 0\le y\le6
\int_{x=y/3}^{2}\bigl(5y^{2}x^{3}+2\bigr)\,dx =\Bigl[\frac{5}{4}y^{2}x^{4}+2x\Bigr]_{x=y/3}^{2}.
Em seguida integra-se cada expressão resultante em y sobre os respectivos intervalos e soma-se. Esse cálculo completo leva a
\frac{2608}{3}.

Resposta

\frac{2608}{3}.

Exercícios relacionados