Calcule a integral dupla.
Limitada pelo paraboloide z=x^2+y^2+4 e pelos planos x=0, y=0, z=0, x+y=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo paraboloide
z = x^2 + y^2 + 4
pelo plano inferior z=0 e pelas faces verticais x=0, y=0 e x+y=1. Para achar esse volume usamos que
V = integral duplaD l(ztopo - zfundor),dA
onde ztopo = x^2+y^2+4, zfundo=0 e D é a projeção no plano xy.

Passo 2

A região D no plano xy é o triângulo
D = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;0 <= y <= 1 - x
Logo o volume fica
V = integralx=0^1integraly=0^1-x l(x^2 + y^2 + 4r),dy,dx

Passo 3

Para cada x fixo calculamos
integral0^1-x l(x^2 + y^2 + 4r),dy = x^2(1-x) ;+;(1-x)^33;+;4(1-x)

Passo 4

Agora montamos o integral em x:
V = integral0^1l[x^2(1-x) + tfrac(1-x)^33 + 4(1-x)r],dx
Expandindo e somando termos obtemos o polinômio
x^2(1-x)=x^2 - x^3, tfrac(1-x)^33=tfrac13 - x + x^2 - tfracx^33, 4(1-x)=4 - 4x,
logo o integrando é
133 - 5x + 2x^2 - 43x^3
Integramos de 0 a 1:
integral0^1l(tfrac133 - 5x + 2x^2 - tfrac43x^3r),dx = 136

Resposta

136

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