Exemplo

(a) Determine a derivada de r(t)=(1+t^3) i+t e^-t j+sen 2 t k
(b) Encontre o vetor tangente unitário no ponto onde t=0.

Solução.

a) eta(t)=(1+t^3, t e^-t, sen 2 t)
& r^prime(t)=(3 t^2, e^-t(1-t), 2 cos (2 t)) & (1+t^3)^prime=3 t^2 & (t, e^-t)^prime=1 e^-t+t cdot(-1) e^-t=e^-t(1-t) & (sen 2 t)^prime=cos (2 t) cdot 2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a derivada da função vetorial
r(t) = l(1+t^3r)i + t e^-t,j + sin(2t),k,
que envolve derivar cada componente; e (b) o vetor tangente unitário em t=0, que exige calcular r'(0), sua norma e, em seguida, dividir o vetor derivada pela norma.

Passo 2

Para derivar componente a componente usamos:
– Regra da potência: l(1+t^3r)'=3t^2.
– Regra do produto e da exponencial:
l(t e^-tr)' = t,(e^-t)' + e^-t,(t)' = t,(-e^-t) + e^-tcdot1 = e^-t(1 - t)
– Regra da cadeia:
l(sin(2t)r)' = cos(2t)cdot2 = 2cos(2t)
Assim,
r'(t) = l(3t^2,,e^-t(1 - t),,2cos(2t)r)

Passo 3

Para obter o vetor tangente unitário em t=0 calculamos primeiro
r'(0) = l(3cdot0^2,,e^0(1 - 0),,2cos(0)r) = (0,,1,,2)

Passo 4

Em seguida encontramos a norma de r'(0):
|r'(0)| = raiz0^2 + 1^2 + 2^2 = raiz5

Passo 5

Por fim, o vetor tangente unitário em t=0 é dado por
T(0) = r'(0)|r'(0)| = l(0,1raiz5,2raiz5r)

Resposta

(a) r'(t) = l(3t^2,,e^-t(1 - t),,2cos(2t)r)
(b) T(0) = l(0,tfrac1raiz5,tfrac2raiz5r)

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